威佐夫博弈(Wythoff Game)/巴什博弈(Bash Game)

Description

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有两堆石子,数量任意,可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子。游戏规定,每次有两种不同的取法,一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子;二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。最后把石子全部取完者为胜者。现在给出初始的两堆石子的数目,如果轮到你先取,假设双方都采取最好的策略,问最后你是胜者还是败者。

Input

输入包含若干行,表示若干种石子的初始情况,其中每一行包含两个非负整数a和b,表示两堆石子的数目,a和b都不大于1,000,000,000。

Output

输出对应也有若干行,每行包含一个数字1或0,如果最后你是胜者,则为1,反之,则为0。

Sample Input

2 1
8 4
4 7

Sample Output

0
1
0

Source

NOI

解题思路

威佐夫博弈(Wythoff’s game),是ACM题中常见的组合游戏中的一种,大致上是这样的:
比如有两堆石子,先设定一堆有 10,另一堆有 15 个,双方轮流取走一些石子,合法的取法有如下两种:

  1. 在一堆石子中取走任意多颗;
  2. 在两堆石子中取走相同多的任意颗;

约定取走最后一颗石子的人为赢家,求必胜策略。
有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。如果甲面对(0,0),那么甲已经输了,这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是:(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10).可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk=ak+k. 那么任给一个局势(a,b),怎样判断它是不是奇异局势呢?
我们有如下公式:
ak =[k(1+√5)/2],bk= ak + k (k=0,1,2,…,n 方括号表示取整函数)
奇妙的是其中出现了黄金分割数(1+√5)/2 = 1。618…,因此,由ak,bk组成的矩形近似为黄金矩形,由于2/(1+√5)=(√5-1)/2,可以先求出j=[a(√5-1)/2],若a=[j(1+√5)/2],那么a = aj,bj = aj + j,若不等于,那么a = aj+1,bj+1 = aj+1+ j + 1,若都不是,那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行,一定会遇到奇异局势。

奇异局势的性质

  1. 任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
    由于a[k]是未在前面出现过的最小自然数,所以有a[k] > a[k-1] ,而 b[k]= a[k] + k > a[k-1] + k > a[k-1] + k - 1 = b[k-1] > a[k-1] 。所以性质1成立。
  2. 任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
    事实上,若只改变奇异局势(a[k],b[k])的某一个分量,那么另一个分量不可能在其他奇异局势中,所以必然是非奇异局势。如果使(a[k],b[k])的两个分量同时减少,则由于其差不变,且不可能是其他奇异局势的差,因此也是非奇异局势。
  3. 采用适当的方法,可以将非奇异局势变为奇异局势。
    假设面对的局势是(a,b),若 b = a,则同时从两堆中取走 a 个物体,就变为了奇异局势(0,0);如果a = a[k] ,b > b[k] 那么,取走b - b[k]个物体,即变为奇异局势;如果 a = a[k] , b < b[k] 则同时从两堆中拿走a-a[b-a](注:这里b-a是a的下标, 不是a*(b-a)) 个物体变为奇异局势( a[b-a], b-a+a[b-a]);如果a > a[k] ,b= a[k] + k 则从第一堆中拿走多余的数量a - a[k] 即可;如果a < a[k] ,b= b[k],分两种情况,第一种,a=a[n] (n< k)从第二堆里面拿走 b - b[n] 即可;第二种,a=b[n] (n < k)从第二堆里面拿走 b - a[n] 即可。

源码

Python

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from math import sqrt
import sys

def solution(a ,b):
a = int(a)
b = int(b)
if a<b :
a ^= b
b ^= a
a ^= b
k = a - b
a = int(k * (1 + sqrt(5)) / 2.0)
if a == b:
print("0\n")
else:
print("1\n")

for line in sys.stdin:
line = line.strip()
a, b = line.strip().split(' ')
solution(a, b)

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>

using namespace std;

int a,b;

int main(){

//freopen("input.txt","r",stdin);

while(~scanf("%d%d",&a,&b)){
if(a<b){
a^=b;
b^=a;
a^=b;
}
int k=a-b;
a=(int)(k*(1+sqrt(5))/2.0);
if(a==b)
printf("0\n");
else
printf("1\n");
}
return 0;

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